Общая полезность
Общая полезность - удовлетворение, которое получают от потребления определенного набора товара или услуги.Предельная полезность - это прирост общей полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на единицу.
Производная по количеству Q
Например, TU = x*y. Mux = d(x*y)/dx = y; Muy = d(x*y)/dy = x
Например, TU = 10x2 + 2x + 2. Mux = d(10x2 + 2x + 2)/dx = 20x + 2
Функция полезности - функция, показывающая убывание полезности блага с ростом его количества:
Условия равновесия потребителя
Условия равновесия потребителя можно выразить формулой:Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает равновесие потребителя.
Пример задачи на нахождение оптимального набора покупок
Пример задачи на нахождение оптимального набора товаров при заданной функции полезности
Кривая безразличия
Кривая безразличия - это множество точек на кривой, которые показывают различные комбинации двух экономических благ, имеющих одинаковую полезность для потребителя.Предельная норма замещения (marginal rate of substitution - MRS) - количество, на которое потребление одного из двух благ должно быть увеличено (или уменьшено), чтобы полностью компенсировать потребителю уменьшение (или увеличение) потребления другого блага на одну дополнительную единицу:
Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.
Бюджетная линия
Бюджетная линия представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном, графически отображающую множество наборов из двух товаров, требующих одинаковых затрат на их потребление. Она показывает, какие потребительские наборы можно приобрести за данную сумму денег.Px - цена блага Х;
Py - цена блага Y;
X,Y - составляют соответственно купленные количества благ.
Пример. Функция полезности U(xy)=xy. Доход потребителя равен 80 ден. ед. Цены товаров x и y соответственно равны Px=2 руб. и Py=4 руб. Найдите равновесный набор.
Решение: Из условия равновесия потребителя: Mux / Muy = Px / Py получаем: Mux = d(x*y)/dx = y; Muy = d(x*y)/dy = x
Тогда: y / x = 2 / 4 = 1/2 или y = 1/2x
Для наших данных уравнение бюджетной линии запишем как: 80 = 2x + 4y = 2x + 4*1/2x = 4x
Откуда: x = 20 ед., y = 1/2*20 = 10 ед.
Ответ: потребитель приобретет 20 ед. товара x и 10 ед. товара y.
Пример решения определения оптимума потребителя
Потребитель тратит 600 рублей в месяц на приобретение двух товаров. Цена товара Х - 20 рублей, а товара Y - 10 рублей. Задана функция полезности потребителя U = ХY. Составить уравнение бюджетной линии. Найти предельную норму замещения. Определить оптимум потребителя. Представить графически. Если цена товара Х уменьшится на 5 руб., на сколько единиц изменится объем спроса данного товара всего?|Уравнение бюджетной линии:Предельная полезность товаров:
Оптимум потребителя достигается при равенстве:
Предельная норма замещения
Выразим y через x.
Подставим в уравнение бюджетной линии:
Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.
Проверка: 20 х 15 + 10 х 30 = 300 + 300 = 600.
При уменьшении цены товара X на 5 руб.
Px = 20 - 5 = 15
Найдем новый оптимум потребителя.
Спрос на товар Х увеличился на 2.14 (17.14 - 15)
Проверка: 15 х 17.14 + 10 х 34.29 = 257.1 + 342.9 = 600.
Пример нахождения цен товаров при оптимальном выборе покупателя
Утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу
Определить утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу, если функции полезности агентов равны u1 = х1 + 3, u2= 3х2 - 2 при х1 + x2 = 3 . Проверить независимость от масштаба для указанных ПКБ, если функция полезности первого агента была уменьшена в три раза.Решение. Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие u1 = u2 или x1 + 3 = 3x2 - 2. Учитывая, что x2 = 3- x1, получаем x2 = 2, тогда x1 = 1. Вектор полезностей (4,4).
Утилитарное решение находим, максимизируя сумму полезностей агентов: x1 + 3 + 3x2 - 2 → max, подставив x1 вместо x2, получаем 4x2 + 1 → max. Рассматриваемая функция возрастает от x1 и достигает своего максимума при x1 = 3, тогда x2 = 0. Здесь вектор полезностей (1,1).
Независимость от масштаба
Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие u1 = u2 или x1/3 + 1 = 3x2 - 2. Учитывая, что x2 = 3- x1, получаем 10/3 x1 - 6 = 0, тогда x1 = 9/5, то x2 = 6/5. Вектор полезностей (8/5,8/5).
Множество допустимых распределений пары продуктов на неотрицательные количества определяется так:x1,x2 0, x1 + x1 = a, x2 = b.
Максимизируя ФКП Нэша, мы выбираем эффективное распределение. Оптимальное распределение определяется как решение задачи:
Видим, что соблюдается условия:
а) 
,
б) 
