Множество Парето содержит точки третьего класса, каждую из которых можно переместить во множестве М лишь при условии уменьшения хотя бы одной из координат.
С помощью калькулятора среди исходных точек выделяются точки третьего класса, из которых формируется множество Парето.
Операция называется оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы ее доминировали. Соответственно, решение x ∈ Q называется оптимальным по Парето, если не существует решений, которые бы его доминировали.
В случае, если количество Парето-оптимальных решений больше одного, то для определения лучшего решения можно применить:
взвешивающую формулу f(x,y)=2x-y, если x→max, y→min.
Считается, что наилучшие решения многокритериальной задачи следует искать именно среди множества Парето. Поэтому построение множества Парето нередко считают первым необходимым шагом в решении любой многокритериальной задачи.
Пример. Необходимо отобрать в множество Парето микросхемы ПЗУ из 10 штук. ПЗУ характеризуются емкостью и быстродействием. На графике наши объекты расположатся следующим образом:
Решение. Характеристики ПЗУ Быстродействие и Емкость максимизируются, т.е. чем выше их значение, тем лучше ПЗУ. Рассмотрим ПЗУ5 и ПЗУ1. ПЗУ1 лучше ПЗУ5 по емкости, поэтому ПЗУ5 можно отбросить. Также ПЗУ6 хуже ПЗУ2 по быстродействию и, поэтому в дальнейшем рассматриваться не будет. Наиболее плохими характеристиками обладают ПЗУ7,8,9,10. Из ПЗУ1,2,3,4 нельзя выбрать наилучшее, потому что у каждого из них одна из характеристик (быстродействие или емкость) лучше чем у других, а другая хуже. Эти ПЗУ1,2,3,4 и составляют множество Парето.
Пример №2
Пусть имеется задача с двумя целевыми функциями.
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
F1
13
32
17
-3
11
12
2
14
F2
1
5
2
15
9
43
5
11
Требуется найти оптимальные по Парето решения, если целевые функции требуется максимизировать.
Решение. Критерии оптимизации:
x → max, y → max
Операция №2 доминирует над №1,3,7.
Операция №5 доминирует над №7.
Операция №6 доминирует над №4,5,7.
Операция №8 доминирует над №1,5,7.
Следовательно, операции №2,6,8, оптимальны по Парето.
Операции, оптимальные по Парето, не обязательно являются «самыми лучшими» и даже просто «хорошими» - эти операции не являются худшими.
Пример №3
Инвестор рассматривает четыре инвестиционные операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения:
E1
2
5
8
4
p
1/6
1/2
1/6
1/6
E2
2
3
4
12
p
1/2
1/6
1/6
1/6
E3
3
5
8
10
p
1/6
1/6
1/2
1/6
E4
1
2
4
8
p
1/2
1/6
1/6
1/6
Требуется определить, какие из этих операций оптимальны по Парето.
Решение. Ожидаемые эффективности и риски равны соответственно MЕ1 = 4.81, σ1 = 1.77, MЕ2 = 4.16, σ2 = 3.57, MЕ3 = 7.00, σ3 = 2.30, MЕ4 = 2.81, σ4 = 2.54. Нанесем точки (MEi; σi) на единый график (рис.). i-я операция доминирует j-ю, если точка, соответствующая i-й операции, находится на графике правее и ниже точки, соответствующей j-й операции.
Критерии оптимизации:
MЕ → max, σ → min
Рисунок - График «риск - доходность»
Видно, что первая операция доминирует вторую и четвертую, третья операция также доминирует вторую и четвертую. При этом первая операция не доминирует третью, а третья не доминирует первую. Первая и третья операции, таким образом, оптимальны по Парето.
